Dekomposisi Transformasi Wavelet
Pada tahun 1987, wavelet telah menjadi pendekatan baru yang sangat baik dalam pemrosesan dan analisis sinyal. Wavelet adalah fungsi matematika yang memotong-motong data menjadi kumpulan-kumpulan frekuensi yang berbeda, sehingga masing masing komponen tersebut dapat dipelajari dengan menggunakan skala resolusi yang berbeda. Wavelet merupakan sebuah fungsi variabel real t, diberi notasi Ψt dalam ruang fungsi L²(R). Fungsi ini dihasilkan oleh parameter dilatasi dan translasi yang dinyatakan dalam persamaan :
dimana :
a = parameter dilatasi
b = parameter translasi
ℜ = mengkondisikan nilai a dan b bernilai real
2j = parameter dilatasi
k = parameter waktu atau lokasi ruang
Z = mengkondisikan nilai j dan k bernilai integer
Fungsi persamaan yang pertama dikenalkan pertama kali oleh Grossman dan Morlet, sedangkan persamaan yang kedua dikenalkan oleh Daubechies. Transformasi wavelet menggunakan dua komponen penting dalam melakukan transformasi yakni fungsi skala (scaling function) dan fungsi wavelet (wavelet function). Fungsi skala (scaling function) disebut juga sebagai Lowpass Filter, sedangkan fungsi wavelet (wavelet function) disebut juga sebagai Highpass Filter. Kedua fungsi ini digunakan pada saat transformasi wavelet dan inverse transformasi wavelet.
1. Fungsi wavelet
disebut juga highpass filter yang mengambil citra dengan gradiasi intensitas yang tinggi dan perbedaan intensitas yang rendah akan dikurangi atau dibuang.
2. Fungsi skala
disebut juga lowpass filter yang mengambil citra dengan gradiasi intensitas yang halus dan perbedaan intensitas yang tinggi akan dikurangi atau dibuang. Kedua komponen diatas dapat disebut sebagai mother wavelet yang harus memenuhi kondisi :
yang menjamin terjaminnya sifat ortogonalitas vektor. Beberapa jenis mother wavelet dapat dilihat pada tabel berikut :
Transformasi Wavelet Diskrit
Transformasi wavelet diskrit secara umum merupakan dekomposisi citra pada frekuensi subband citra tersebut dimana komponennya dihasilkan dengan cara penurunan level dekomposisi. Implementasi transformasi wavelet diskrit dapat dilakukan dengan cara melewatkan sinyal frekuensi tinggi atau highpass filter dan frekuensi rendah atau lowpass filter. Dibawah ini adalah gambar dari transformasi wavelet diskrit dua dimensi dengan level dekomposisi satu
Seperti yang terlihat pada Gambar diatas , jika suatu citra dilakukan proses transformasi wavelet diskrit dua dimensi dengan level dekomposisi satu, maka akan menghasilkan empat buah subband, yaitu :
1. Koefisien Approksimasi (CA j+1) atau disebut juga subband LL
2. Koefisien Detil Horisontal (CD(h) j+1) atau disebut juga subband HL
3. Koefisien Detil Vertikal (CD(v) j+1) atau disebut juga subband LH
4. Koefisien Detil Diagonal (CD(d) j+1) atau disebut juga subband HH
dengan Level Dekomposisi 1 Subband hasil dari dekomposisi dapat didekomposisi lagi karena level dekomposisi wavelet bernilai dari 1 sampai n atau disebut juga transformasi wavelet multilevel. Jika dilakukan dekomposisi lagi, maka subband LL yang akan didekomposisi karena subband LL berisi sebagian besar dari informasi citra. Jika dilakukan dekomposisi dengan level dekomposisi dua maka subband LL akan menghasilkan empat buah subband baru, yaitu subband LL2 (Koefisien Approksimasi 2), HL2 (Koefisien Detil Horisontal 2), LH2 (Koefisien Detil Vertikal 2), dan HH2 (Koefisien Detil Diagonal 2). Dan begitu juga seterusnya jika dilakukan dekomposisi lagi.
dengan Level Dekomposisi 2 Dapat juga dilihat seperti gambar wavelet tree dibawah ini
Bila citra asli f dengan M x N pixel didekomposisi manjadi empat subband sesuai frekuensinya yakni LL, LH, HL, dan HH dengan menggunakan transformasi wavelet dengan filter Haar (Daubechies orde 1), secara matematis dihasilkan dengan menggunakan persamaan sebagai berikut :
dimana :
- 0 ≤ x < M/2, 0 ≤ y < N/2 dan f(x,y) merupakan nilai iksel pada koordinat (x,y) pada citra f.
- ll(x,y), lh(x,y), hl(x,y), dan hh(x,y) secara berturut-turut dalah komponen pada koordinat (x,y) dari LL, LH, HL,dan HH.
- LL merupakan setengah dari resolusi citra asli, LH merupakan subband detail vertikal, HL merupakan subband detail horisontal, dan HH merupakan subband detail diagonal.
Filter Wavelet
Transformasi wavelet diskrit seperti yang telah diterangkan sebelumnya, dimana citra dilakukan filtering oleh lowpass filter dekomposisi dan highpass filter dekomposisi pada proses dekomposisi (pembelahan subband). Begitu pula pada saat citra dilakukan proses inverse transformasi wavelet diskrit, citra kembali dilakukan proses upsampling yang diikuti proses filtering oleh lowpass filter rekonstruksi dan highpass filter rekonstruksi. Keluarga wavelet memiliki ordo dimana ordo menggambarkan jumlah koefisien filternya.
Filter Wavelet Daubechies
Ingrid Daubechies, salah satu bintang yang paling cerdas di dunia dalam hal penelitian wavelet, menemukan pendukung orthonormal wavelets, sehingga membuat analisa wavelet diskrit dapat dipraktekkan. Penamaan keluarga wavelets daubechies ditulis dbN,
dimana N adalah orde, dan db adalah nama panggilan dari wavelet tersebut. Wavelet db1, seperti yang disebutkan diatas, adalah sama dengan Wavelet Haar. Gambar 2.11 menunjukkan fungsi wavelet psi dari tiga anggota keluarga.
Karakteristik umum dari filter wavelet daubechies adalah secara lengkap didukung oleh wavelet dengan fasa ekstremal dan memiliki jumlah vanishing moment paling tinggi untuk lebar yang ditentukan. Vanishing moment menunjukan kemampuan wavelet dalam merepresentasikan sifat polinomial. Filter skala yang dihubungkan adalah filter fasa minimum. Tabel berikut memuat informasi tentang filter wavelet daubechies.
Filter Wavelet Symlet
Symlet hampir simetris dengan wavelet yang diusulkan oleh Daubechies sebab merupakan modifikasi pada keluarga db. Properti dari dua keluarga wavelet adalah serupa.
Karakteristik umum dari filter wavelet symlet adalah secara lengkap didukung oleh wavelet dengan paling sedikit asymmetry dan jumlah vanishing moment paling tinggi untuk lebar yang ditentukan. Filter skala yang dihubungkan adalah filter fasa linier. Tabel berikut memuat informasi tentang filter wavelet symlet.
Filter Wavelet Coiflet
Filter wavelet coiflet dibentuk oleh I. Daubechies atas permintaan R. Coifman. Fungsi wavelet mempunyai momen 2N yang sama dengan 0 dan fungsi skala mempunyai momen 2N-1 sama dengan 0. Kedua fungsi mempunyai suatu panjang 6N-1. Gambar 2.8 Fungsi Wavelet psi (a) coif1, (b) coif2, (c) coif3 Karakteristik umum dari filter wavelet coiflet adalah secara lengkap didukung oleh wavelet dengan jumlah vanishing moment paling tinggi untuk kedua phi dan psi pada lebar yang ditentukan.
